规范场论（Gauge Theory）是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。非交换对称群（又称非阿贝尔群）的规范场论最常见的例子为杨-米尔斯理论。物理系统常用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性——应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等效原理的一个推广。规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性。
詹姆斯·麦克斯韦的电动力学是最早蕴含规范对称性的理论，其源头为威廉·汤姆森1851年发现的磁矢势数学性质，但这一对称性在早期未被重视，戴维·希尔伯特推导爱因斯坦场方程时也忽略了对称性的重要性。赫尔曼·外尔曾尝试以尺度变换不变性统一广义相对论与电磁学，因产生非物理结果受挫。量子力学发展后，外尔、弗拉基米尔·福克和弗里茨·伦敦修正其思想，将缩放因子替换为复数，把尺度变化改为U（1）规范对称的相位变化，构建出首个规范场论，泡利于1940年推动其传播。1954年，杨振宁与罗伯特·米尔斯为解决粒子物理混乱，引入非交换规范场论，Ronald Shaw也独立提出相同概念。此后，其思想被应用于弱相互作用的量子理论，它和电磁学统一于电弱理论。又因能导出强相互作用的渐近自由，促成了SU（3）群作用下的量子色动力学，最终规范场论成为粒子物理标准模型核心，统一了三大基本力。1970年代，迈克尔·阿蒂亚提出杨-米尔斯方程的数学解的研究计划，西蒙·唐纳森、迈克尔·弗里德曼基于此取得光滑4-流形的可微分类等突破。1994年，爱德华·威滕与塞伯格发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。
规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。规范场论概念是量子革命带来的最富有成果且最具韧性的思想之一。亚基尔阿哈罗诺夫戴维·玻姆效应、希格斯机制以及夸克，所有这些被观察到的现象，其数学描述都依赖于规范理论的原理。西蒙·唐纳森、迈克尔·弗里德曼和爱德华·威滕每个人都因为对规范场论的工作而获得了菲尔兹奖。
概念
规范场论（Gauge Theory）是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。非交换对称群（又称非阿贝尔群）的规范场论最常见的例子为杨-米尔斯理论。物理系统常用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性——应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等效原理的一个推广。规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性。
发展历史
最早包含规范对称性的物理理论是詹姆斯·麦克斯韦的电动力学。麦克斯韦在他的论文里特别提出，这理论源自威廉·汤姆森于1851年发现的关于磁矢势的数学性质，但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。戴维·希尔伯特假设在坐标变换下作用量不变，由此推导出爱因斯坦场方程时，也没有注意到对称性的重要。
之后，赫尔曼·外尔试图统一广义相对论和电磁学，他猜想尺度（规范）变换下的“不变性”可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，外尔、弗拉基米尔·福克和弗里茨·伦敦实现了该思想，但做了一些修改（把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相位变化——一个U（1）规范对称性），这相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释，这是第一个规范场论。沃尔夫冈·泡利在1940年推动了该理论的传播。
1954年，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论，来建构将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。罗纳德·肖（Ronald Shaw）在阿卜杜勒·萨拉姆指导下，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU（2）对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U（1）群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点在于量子化规范场论。
该思想后来被发现能够用于弱相互作用力的量子场论，以及它和电磁学的电弱统一理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出渐近自由的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐近自由被认为是强相互作用力的一个重要特点，因而推动了寻找强相互作用力的规范场论的研究。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU（3）群作用在夸克的色荷上的规范场论。这样标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用力和强相互作用力的表述。
1970年代，迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，阿蒂亚的学生西蒙·唐纳森（Simon Donaldson）在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微分类和它们只差一个同胚的分类非常不同。迈克尔·弗里德曼（Michael Freedman）采用唐纳森的工作证明伪R4的存在，也就是，欧氏4维空间上的奇异导数结构。这导致对于规范场论本身的兴趣，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和内森·塞伯格（Nathan Seiberg）发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些从规范场论来的对数学的贡献导致了对该领域的新兴趣。
例子
非交换对称群的规范场论最常见的例子为杨-米尔斯理论。物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性——应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等效原理的一个推广。
电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电势升高相同的值时，电路的行为完全不变；因为电路中的电位差不变。该事实的一个常见例子是栖息在高压电线上的鸟不会遭电击，因为鸟对地绝缘。这称为整体规范对称性。电压的绝对值不是真实的；真正影响电路的是电路组件两端的电压差。接地点的定义是任意的。相反，如果某个对称性可以从一点到另一点任意定义，它是一个局域规范对称性。
发展趋势
规范理论除了在纵向物理研究领域（如量子场论、粒子物理标准模型、广义相对论论、超对称、超引力、弦论）之中成为核心或重要构件外，近年来在其它领域如固体凝聚态物理、萨特延德拉·玻色凝聚量子物态领域、光量子物理、复杂系统物理学和各种交叉研究领域等也引起了广泛兴趣，有的研究方向获得了有趣的研究结果。在这些专题中，规范场论具有方法论意义，有助于从新角度加深对其中的物理原理的理解，或者在计算求解和简化模型上带来方便，或者因为这些领域本身出现等效规范场现象，研究人员探索人造“磁学”和拓扑特性，将自然界的基本物理现象在应用领域中“复现”出来，给人以启发性意义。基础物理和应用物理各领域之间的交叉研究，让研究人员得益于思想借鉴，有助于提出新的物理学原理。
相关荣誉
西蒙·唐纳森、迈克尔·弗里德曼和爱德华·威滕每个人都因为对规范场论的工作而获得了菲尔兹奖。
意义
规范场论“统一”了除引力之外的三种力，它在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU（3）×SU（2）×U（1）的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。
规范理论概念是量子革命带来的最富有成果且最具韧性的思想之一。正是其在这些理论中的应用，使得规范理论自20世纪中叶以杨-米尔斯理论的成熟形式出现以来，得以作为一个基本概念留存。从那以后，粒子物理学中观察到的几乎每一项重大进展，要么是此前通过规范理论提出的理论，要么是后来通过规范理论得到理解的。亚基尔阿哈罗诺夫戴维·玻姆效应、希格斯机制以及夸克，所有这些被观察到的现象，其数学描述都依赖于规范理论的原理。
相关知识
数学形式化
规范理论在粒子物理学领域之所以如此强大，同时也使其在不借助数学的情况下难以被有意义地阐释，原因在于其核心特性是一系列光滑对称变换（李群），粒子的动力学描述（拉格朗日量/运动方程）在这些变换下保持不变。这些对称性与费米子所具有的量子数（自旋、电荷、色荷等）相对应，并将它们与介导相互作用的玻色子完美融合。在标准模型以及更广泛的经典/量子场论中，粒子是场（大多时候是旋量场或向量场），它们在时空之中运动，同时又存在于时空之外的“内部空间”中。在规范理论的语境下，“内部空间”应从概念上理解为与特定相互作用相关的光滑对称性存在并对事物进行变换的空间（而非粒子态的希尔伯特空间或福克空间）。费米子所能参与的相互作用，直接对应于能自然变换其内部场空间的对称性。粒子物理学家也是微分几何学家，数学和物理学的这些分支之间的相互作用对这两个领域都大有裨益。
理论量子化
规范场论最完备的数学基础应该是纤维丛理论，纤维丛理论是相对完备的一套数学体系，要想越过纤维丛理论，而直接对像规范场论、量子场论这样的物理理论进行句法学的分析，特别是找出明确的对应规则与具体的经验名词逐条对应就会出现前述公认观点的困难。而且对于量子场论的解释分歧也很大，比如Teller（1990）的谐振子解释，试图用量子化的谐振子描述量子场论，认为量子场形式地等效于谐振子的无穷集，从而我们就能想象按形式上等效于振子的量子化方法对场进行的量子化，正如他所说的 “我们比量子场更好地理解量子化振子”。而另一种关于量子场论的解释是戴维·玻姆（1987）的因果性解释，这种解释认为量子场有跟经典对应物同样的本体论，虽然其动力学完全不同，那么我们能理解经典场到什么程度我们就能理解量子场到什么程度。然而，Nick Huggett和Robert Weingard认为，量子场论只能在某些范围内可用谐振子的方式解释，谐振子的方式至少在某些方面是误导，相反可能有些解释会比Teller的更好，而玻姆的解释也有诸如不满足洛仑兹变换等问题。（PP370-388）事实上，能从规范场论中推演出一些能用实验测定的参数就很不容易，比如标准模型中三代物质粒子的质量，必须通过引入所谓的汤川耦合项，使其成为标准模型中待定的参数，可见，要找到“公认观点”中的观察名词几乎是不可能的。
规范耦合引入机制
魏尔范式和卡鲁扎·克莱因范式是两种引入规范场的方法，也是引入新的动力学自由度的方式。魏尔直接引入新的自由度的新的对称性，要求新自由度满足新的变换下的不变性，这其实是学自微分几何和广义相对论，每一种变换不变性意味着一种对称性，每一种对称性对应于守恒的物理量（Noether定理）。卡鲁扎·克莱因没有引入新的对称性（仍旧沿袭广义相对论的对称性），但是通过引入高维空间来引入新的自由度，于是将电磁场与引力场统一了起来。在1938年菲利克斯·克莱因矢量规范理论中他仍然继承了这一思想，希望用高维来承载弱作用同位旋自由度，这也符合他的“统一场论”希望。而1954年的杨-米尔斯理论实际上采用了魏尔范式，直接引入同位旋自由度和规范对称性，不寄希望于用引力来承载弱作用同位旋自由度。虽然克莱因理论的出发点是高维引力，但其内广义电磁场与（电子－中微子、中子－质子）同位旋二重态的规范耦合内容与引力理论也是可以独立的。
参考资料 >
An Introduction to Gauge Field Theories: From Electrons to Vector Dark Matter.Scientific Research Publishing Inc..2025-11-01
菲尔兹奖.西华大学.2025-11-01